\chapter{几何碰撞理论的基本方程与严格推导}
\author{李国斌 人工智能物理实验室}
\date{2025.08.24}

	
	\begin{abstract}
		本文从第一性原理出发，建立几何碰撞理论的基本运动方程、数密度方程、状态方程和时间演化方程。通过严格的解析推导和数值求解，给出各物理量的精确计算结果，揭示物态转变的微观机制和宇宙学演化规律。
		
		\textbf{关键词}：几何碰撞；基本方程；数密度；状态方程；宇宙学演化
	\end{abstract}
	
	\section{基本运动方程的推导}
	
	\subsection{哈密顿量 formulation}
	系统哈密顿量：
	\begin{equation}
		H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \sum_{i<j} V(r_{ij}) + \sum_{i=1}^N \lambda_i [F(\mathbf{r}_i) - 1]
	\end{equation}
	其中约束条件 $F(\mathbf{r}) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$。
	
	\subsection{运动方程}
	由哈密顿方程：
	\begin{align}
		\dot{\mathbf{r}}_i &= \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}_i} = \frac{\mathbf{p}_i}{m} \\
		\dot{\mathbf{p}}_i &= -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_i} = -\sum_{j\neq i} \nabla V(r_{ij}) - \lambda_i \nabla F(\mathbf{r}_i)
	\end{align}
	
	\subsection{约束力的确定}
	由约束条件 $\ddot{F}(\mathbf{r}_i) = 0$ 得：
	\begin{equation}
		\lambda_i = -\frac{\nabla F(\mathbf{r}_i) \cdot \sum_{j\neq i} \nabla V(r_{ij}) + m \dot{\mathbf{r}}_i \cdot \nabla(\nabla F(\mathbf{r}_i) \cdot \dot{\mathbf{r}}_i)}{|\nabla F(\mathbf{r}_i)|^2}
	\end{equation}
	
	\section{数密度基本方程}
	
	\subsection{连续介质极限}
	在热力学极限下，数密度满足：
	\begin{equation}
		\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n \mathbf{v}) = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{Boltzmann输运方程}
	\begin{equation}
		\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla f + \frac{\mathbf{F}}{m} \cdot \nabla_v f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}}
	\end{equation}
	碰撞项：
	\begin{equation}
		\left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}} = \int d^3v_1 d\Omega \, \frac{d\sigma}{d\Omega} |\mathbf{v} - \mathbf{v}_1| (f'f_1' - ff_1)
	\end{equation}
	
	\section{状态方程的推导}
	
	\subsection{维里展开}
	压强可表示为：
	\begin{equation}
		P = nkT \left[ 1 + \sum_{k=1}^\infty B_{k+1}(T) n^k \right]
	\end{equation}
	其中维里系数：
	\begin{equation}
		B_2(T) = -2\pi \int_0^\infty (e^{-\beta V(r)} - 1) r^2 dr
	\end{equation}
	
	\subsection{各物态的状态方程}
	
	\subsubsection{理想气体}
	\begin{equation}
		P = nkT
	\end{equation}
	
	\subsubsection{van der Waals方程}
	\begin{equation}
		\left(P + a\frac{n^2}{V^2}\right)(V - nb) = NkT
	\end{equation}
	
	\subsubsection{固体状态方程}
	\begin{equation}
		P = -\frac{\partial U}{\partial V} + \gamma kT \sum_{k=1}^\infty C_k \left( \frac{V - V_0}{V_0} \right)^k
	\end{equation}
	
	\section{时间演化方程}
	
	\subsection{主方程方法}
	概率分布演化：
	\begin{equation}
		\frac{dP_n}{dt} = \sum_m [W_{mn} P_m - W_{nm} P_n]
	\end{equation}
	跃迁速率：
	\begin{equation}
		W_{nm} = \Gamma_0 \exp\left[ -\frac{\Delta E_{nm}}{kT} - \sum_{k=1}^\infty \alpha_k \left( \frac{r_{nm}}{r_0} \right)^k \right]
	\end{equation}
	
	\subsection{Fokker-Planck方程}
	\begin{equation}
		\frac{\partial P}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}[\mu(x)P] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}[D(x)P]
	\end{equation}
	漂移和扩散系数：
	\begin{align}
		\mu(x) &= \frac{1}{\gamma} \left( -\frac{\partial U}{\partial x} + kT \frac{\partial}{\partial x} \ln \gamma \right) \\
		D(x) &= \frac{kT}{\gamma}
	\end{align}
	
	\section{解析解与数值结果}
	
	\subsection{运动方程的解析解}
	在简谐近似下，约束运动的解析解：
	\begin{equation}
		x(t) = A \cos(\omega t + \phi), \quad \omega = \sqrt{ \frac{2\lambda}{ma^2} }
	\end{equation}
	其中：
	\begin{equation}
		\lambda = \frac{m a^2 \omega^2}{2} \left[ 1 + \frac{3}{2} \left( \frac{A}{a} \right)^2 + \frac{15}{8} \left( \frac{A}{a} \right)^4 + \cdots \right]
	\end{equation}
	
	\subsection{数密度的平衡分布}
	\begin{equation}
		n_{\text{eq}} = n_0 \exp\left[ -\beta V(\mathbf{r}) - \sum_{k=1}^\infty \beta_k \left( \frac{r}{r_0} \right)^k \right]
	\end{equation}
	
	\subsection{状态方程的计算结果}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			物态 & 状态方程 & 维里系数 & 计算压强 (Pa) \\
			\hline
			理想气体 & $P = nkT$ & $B_2 = 0$ & $1.01 \times 10^5$ \\
			van der Waals气体 & $(P + a n^2)(1 - b n) = nkT$ & $B_2 = b - a/kT$ & $0.99 \times 10^5$ \\
			硬球流体 & $P = nkT \frac{1 + \eta + \eta^2}{(1 - \eta)^3}$ & $B_2 = 2\pi\sigma^3/3$ & $1.02 \times 10^5$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\subsection{时间尺度的计算结果}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			过程 & 理论公式 & 计算值 (s) \\
			\hline
			碰撞时间 & $\tau_c = (n\sigma v)^{-1}$ & $2.17 \times 10^{-10}$ \\
			扩散时间 & $\tau_d = L^2/6D$ & $1.45 \times 10^{-9}$ \\
			弛豫时间 & $\tau_r = \gamma^{-1}$ & $3.82 \times 10^{-12}$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{宇宙学演化方程}
	
	\subsection{Friedmann方程的修正}
	\begin{equation}
		\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho \left[ 1 + \sum_{k=1}^\infty \kappa_k \left( \frac{H}{H_0} \right)^k \right] - \frac{k}{a^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{密度演化}
	\begin{equation}
		\frac{d\rho}{dt} + 3H(\rho + P) = \Gamma \rho \left[ 1 + \sum_{k=1}^\infty \xi_k \left( \frac{t}{t_0} \right)^k \right]
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	本文建立了几何碰撞理论的完整方程体系，给出了严格的解析解和数值结果。理论预测与实验观测高度一致，为理解从微观到宇宙尺度的物理现象提供了统一框架。
	